IRC-Galleria

Nyt kun abaut kaikilta on koulut taas loppunut, niin on hyvä välillä pitää yllä virikkeitä, ettei kaikki opittu unohdu. Leikitäänpä siis hieman matematiikan kanssa.

Ja nyt kun vähiten kiinnostuneet juoksivat pois, voidaan jatkaa rauhassa. Voitte ottaa vaikka paperia siihen lähistölle, niin voitte itse pyöritellä numeroita, jos haluatte. Gallerian päiväkirja kun ei sisällä kaavaeditoria tai yleensä ottaen minkäänlaisia muotoilutyökaluja, niin näistä osa on hieman rumia.

1/3 = 0.333...

Okei, helppoa. Kaikki taisivat vielä pysyä mukana.

1 = 3/3

Vieläkin suurin osa varmaan pysyi kärryillä.

1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.999...

Näinhän sen täytyy olla, jos kerran 1/3 on 0.333..., eli 2/3 on 0.666...

Eli 1 = 0.999...
Wait, what? Ettei vain olisi jotain laskettu väärin. Kokeillaas toista kautta

1 = 9/9
1 = 9 * 1/9
1 = 9 * 0.111...
1 = 0.999...

Jahas, tältä se nyt näyttäisi. Ykkönen ei olekaan yksi, vaan päättymätön desimaaliluku 0.999... Mites Algebra tähän sanoo:
x = 0.999...
Okei, kerrotaan molemmat puolet 10:llä

10x = 9.999...
Hyvältä näyttää. Vähennetään tästä lauseesta nyt ensimmäisellä rivillä todettu x=0.999...

10x - x = 9.999... -0.999...
9x = 9
Yksinkertaistetaan

x=1
Lähdimme tilanteesta x=0.999... ja lopussa todistimme, että x=1. Mitähän tapahtuisi jos ajattelisi 0.999... geometrisenä sarjana. Sovelletaan siis geometrisen sarjan esittämiseen käytettyä kaavaa:
Oletetaan että |r| < 1. Silloin ar + ar^2 + ar^3... = ar/(1-r). Heitetäänpä tämä jo pyöritelty 0.999... kaavaan. Eli r = 1/10...
0.999... = 9(1/10) + 9(1/10)^2 + 9(1/10)^3... = (9(1/10)) / (1-(1/10)) = 1
Tuota listaa kannattanee raapustella paperillekkin, näyttää niin tökeröltä yhdessä rivissä.
Mutta ei se vain muuksi muutu, 1 = 0.999... Minkäs teet, paskan möivät.